Menghitung Metode Trapezoidal di R dan Python

Metode trapezoidal adalah metode numerik untuk memperkirakan luas area di bawah kurva. Metode ini sering digunakan ketika integral sulit dihitung secara manual atau data yang tersedia berupa titik-titik pengamatan.

Rumus Trapezoidal

Jika interval dari a sampai b dibagi menjadi n bagian dengan lebar h, rumus trapezoidal adalah:

Luas = h / 2 * (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(xn))

Dengan:

• h = (b - a) / n
• x0 = a
• xn = b
• nilai tengah dikalikan 2

Contoh Soal

Hitung pendekatan integral dari fungsi berikut pada interval 0 sampai 4 dengan 4 subinterval.

f(x) = x^2 + 2x + 1

Langkah awal:

• a = 0
• b = 4
• n = 4
• h = (4 - 0) / 4 = 1
• titik x adalah 0, 1, 2, 3, 4

Penyelesaian Manual Singkat

Hitung nilai fungsi pada setiap titik.

f(0) = 1
f(1) = 4
f(2) = 9
f(3) = 16
f(4) = 25

Masukkan ke rumus trapezoidal:

Luas = 1 / 2 * (1 + 2(4 + 9 + 16) + 25)
Luas = 0.5 * (1 + 58 + 25)
Luas = 42

Jadi, hasil pendekatan integralnya adalah 42.

Implementasi di R

f <- function(x) {
  return(x ^ 2 + 2 * x + 1)
}

a <- 0
b <- 4
n <- 4

h <- (b - a) / n
x <- seq(a, b, by = h)
y <- f(x)

luas <- (h / 2) * (y[1] + 2 * sum(y[2:n]) + y[n + 1])

print(x)
print(y)
print(luas)

Penjelasan: seq(a, b, by = h) membuat titik x dari 0 sampai 4. Nilai tengah y[2:n] dijumlahkan lalu dikalikan 2. Index R dimulai dari 1, sehingga nilai terakhir adalah y[n + 1].

Implementasi di Python

def f(x):
    return x ** 2 + 2 * x + 1


a = 0
b = 4
n = 4

h = (b - a) / n
x = [a + i * h for i in range(n + 1)]
y = [f(item) for item in x]

luas = (h / 2) * (y[0] + 2 * sum(y[1:n]) + y[n])

print(x)
print(y)
print(luas)

Penjelasan: Python menggunakan index mulai dari 0. Karena itu, nilai pertama adalah y[0] dan nilai terakhir adalah y[n].

Membuat Fungsi Trapezoidal di R

trapezoidal <- function(f, a, b, n) {
  h <- (b - a) / n
  x <- seq(a, b, by = h)
  y <- f(x)

  luas <- (h / 2) * (y[1] + 2 * sum(y[2:n]) + y[n + 1])

  return(luas)
}

hasil <- trapezoidal(function(x) x ^ 2 + 2 * x + 1, 0, 4, 4)

print(hasil)

Membuat Fungsi Trapezoidal di Python

def trapezoidal(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    x = [a + i * h for i in range(n + 1)]
    y = [f(item) for item in x]

    luas = (h / 2) * (y[0] + 2 * sum(y[1:n]) + y[n])

    return luas


hasil = trapezoidal(lambda x: x ** 2 + 2 * x + 1, 0, 4, 4)

print(hasil)

Perbandingan R dan Python

Bagian	R	Python
Membuat fungsi	function(x)	def f(x): atau lambda x:
Pangkat	x ^ 2	x ** 2
Membuat urutan angka	seq(a, b, by = h)	list comprehension dengan range()
Index awal	1	0
Nilai terakhir pada rumus	y[n + 1]	y[n]

Latihan Singkat

Coba kerjakan soal berikut menggunakan R dan Python:

• Hitung integral pendekatan dari f(x) = x^3 + 1 pada interval 0 sampai 2 dengan 4 subinterval.
• Hitung integral pendekatan dari f(x) = 2x + 3 pada interval 1 sampai 5 dengan 8 subinterval.
• Ubah fungsi trapezoidal() agar juga menampilkan nilai x, nilai y, dan hasil luas.